UP Board Class 10th Maths 2024-25 || Chapter -01 Real Numbers #02 संख्या और संख्याओं के प्रकार

 विभाज्यता (Divisibility)

माना a व b दो पूर्णांक इस प्रकार हैं कि b `\ne` 0 तब कहते हैं कि b, a को विभाजित करता है यदि, एक ऐसे पूर्णांक c का अस्तित्व इस प्रकार है कि a = bc, यहाँ, पूर्णांक a को भाज्य (dividend), b भाजक (divisor) तथा c को भागफल (quotient) कहते हैं।

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उदाहरणार्थ

(i) पूर्णांक 4, 24 को विभाजित करता है क्योंकि यहाँ एक अन्य पूर्णांक 6 का अस्तित्व इस प्रकार है कि 24 = 4 × 6

(ii) पूर्णांक 4, 25 को पूर्णतया विभाजित नहीं करता, क्योंकि यहाँ किसी भी ऐसे का c  अस्तित्व नहीं है जिसके लिए 25 = 4× c

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यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका(Euclid's Division Lemma)

इसके अनुसार, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्या) a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि शेषफल (Remainder) प्राप्त होता है जहाँ 0≤ r< b

यहाँ a को भाज्य (dividend), b को भाजक (divisor), (q को भागफल (quotient) तथा को शेषफल (Remainder) कहा जाता है।

अतः    भाज्य = (भाजक ×भागफल) + शेषफल

यदि b, संख्या a को पूर्णतया विभाजित करता है तब शेषफल r = 0 होता है।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम (Euclid's Division Algorithm)

यह यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित है तथा दिये गये दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक [Highest Common Factor (HCF)] ज्ञात करने की एक विधि है।

कार्य-विधि WORKING PROCEDURE

चरण 1: a व b के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दो अऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ 91 तथा इस

प्रकार ज्ञात कीजिए कि a = bq +r, 0≤r<b